Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff: Eine by Friedrich. Bachmann

By Friedrich. Bachmann

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Man erkennt nun : Keine Gerade ist zu allen anderen Geraden senkrecht, oder anders gesagt : Keine Gerade kommutiert mit allen Geraden. Genauer gilt sogar, daß keine Gerade mit jeder von den Geraden g, h,f des Axioms D kommutiert. Gäbe es nämlich eine mit g,h,f kommutierende Gerade c, so wäre c=t=g,h,f (denn g,f sowie h,f kommutieren nicht) und daher cl g, h,f. Aus cl g, hund gl h würde nach Satz 5 c = gh, und damit gh If folgen, im Widerspruch zu Axiom D. Hieraus ergibt sich, als Ergänzung zu ihrer Definition, daß die Spiegelungen (4) an den Geraden der Gruppenebene von der Identität verschieden sind.

Gegeben seien zwei Mengen von Dingen, welche Punkte bzw. Geraden genannt werden, und zwei Relationen: der Punkt A und die Gerade b sind inzident, die Gerade a ist zu der Geraden b senkrechtl. Wir definieren: Eine eineindeutige Abbildung der Gesamtheit der Punkte und der Geraden je auf sich, bei welcher die Inzidenz und das Senkrechtstehen erhalten bleiben, werde eine orthogonale Kollineation genannt. Eine involutorische orthogonale Kollineation, welche eine Gerade g punktweise festläßt, werde eine Spiegelung an der Geraden g genannt.

Für ein Polardreiseit, d. h. drei paarweise senkrechte Geraden, gilt auf Grund von Satz 3 : S atz 5 (Polardreiseit) . Sind a, b, c paarweise senkrechte Geraden, so ist abc = 1, und umgekehrt. Beweis. Es seien a, b, c paarweise senkrecht. 1. c und a =t= b. Daher ist nach Satz 3 ab = c, also abc = 1. Daß die Umkehrung gilt, wurde bereits in 3 bemerkt. Man erkennt nun : Keine Gerade ist zu allen anderen Geraden senkrecht, oder anders gesagt : Keine Gerade kommutiert mit allen Geraden. Genauer gilt sogar, daß keine Gerade mit jeder von den Geraden g, h,f des Axioms D kommutiert.

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