Analytische und konstruktive Differentialgeometrie by Erwin Kruppa

By Erwin Kruppa

Das vorliegende Lehrbuch "Analytische und konstmktive Differentialgeometrie" gliedert sich in zwei Teile. Der erste Teil "Analytische Differentialgeometrie" ist eine EinfUhrung in die analytische, allgemeine Theorie der Raumkurven und FHi.chen, der Strahlflachen, Strahlkongruenzen und Strahlkomplexe im euklidi schen Raum. Er soll eine ausreichende Grundlage fUr ein tieferes Eindringen in die Differentialgeometrie liefern. Diese Zweckbestimmung laBt naturgemaB dem Verfasser nur wenig freien Spielraum. Doch wurden manche Einzelheiten neu gestaltet. Insbesondere wurde die Theorie der Strahlflachen in einer von mir in einigen Arbeiten entwickelten Methode dargestellt, die die Theorie der Raum kurven als Sonderfall der Theorie der Strahlflachen erscheinen laBt. 1m zweiten Teil "Konstruktive Differentialgeometrie" wird in der Differential geometrie die seit den Uranfangen der Geometrie getibte Methode angewendet, die das im Geiste moglichst klaF gedachte, wenn moglich graphisch versinnlichte geometrische Objekt mittels Synthese und Rechnung erforscht. In ihrer Frtih zeit conflict die Differentialgeometrie stark anschaulich-konstruktiv ausgerichtet. Diese Richtung muBte aber in den Hintergrund treten, je mehr die moderne Ent wicklung in abstrakte Gebiete fUhrte, die sich nur wenig oder gar nicht anschau li.ch erfassen lassen. Sie kam auch unverdient in MiBkredit, als miBbrauchlich in ihrem Namen viel Unfug mit "unendlich klein en GroBen" getrieben wurde. Es liegt in der Natur der Sache, daB in der Differentialgeometrie die anschaulich konstruktive Methode nur auf einer analytischen Grundlage angewendet werden kann, da ihre Begriffsbi1dungen auf Voraussetzungen tiber Differenzierbarkeit beruhen. Die auf diesem Wege zu gewinnenden Ergebnisse sind daher bloB Er ganzungen zur analytischen Theorie.

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Indem c2 allen Parallelverschiebungen mit den Schiebvektoren f(u) unterworfen wird. Daher laBt sieh jede Parameterlinie in jede andere der gleichen Art durch Parallelversehiebung uberfiihren. Diese besonderen Kurven der Schiebflachen nennt man ihre Schiebkurven. Es sei nun c eine Kurve, die mit zwei Parametern u und l' belegt sei. In (2) 2 ~ = f(U) + f(V) sind dann die ~ die Ortsvektoren nach den Mittelpunkten aller Sehnen von c. (2) ist daher die Sehnenmittenflache von c; auch sie gehort nach Gl.

2) auf u, v. So erhalt man durch Anwendung des Mittelwertsatzes fur Doppelf(u, v) du dv = f(~to, vol du dv) unmittelbar: integrale (H H ~ V ~ Q = lim~ = I EI Gl -F12 8(P, q) . EG-P 8(u, v) (8) § 22. Fliichentreue Abbildungen. Eine Abbildung p = P(u, v), q = q(u, v) einer Flache (j), [ = [(u, v), auf eine FHiche (j)1' [ = [I(U, v), heiBt fliichentreu, wenn die Flacheninhalte entsprechender Gebiete dem Betrage nach gleich sind, Die Flachenverzerrung Q, § 21 Gl. (8), muB demnach ± I sein. Das gibt die Differentialgleichung der flachentreuen Abbildungen: 2 V EG~F 1 I 2 8(P, q) = 8(u, v) ± VEG-P.

Als begleitendes Dreikant des Streifens erklart man die folgenden drei paarweise aufeinander normalen Geraden in P. Die Tangente t von c in P, die zu t in der Beruhrebene von P normale Gerade t*, die Tangentialnormale heiBe, und die Fliichennormale n in P. Wir orientieren t, t*, n derart, daB die zugehorigen Einsvektoren t, t*, j)1 ein Rechtssystem bilden. 6) t* = 9 cos w -- 6 sin OJ, 9c = 9 sin OJ + b cos OJ; (I) 6 = - t* sin w + j)1 cos w, f) = t*'cos w + j)1 sin w. (2) Differenziert man Gl. (I) nach der Bogenlange s von c, so entsteht mittels der FRENETschen Formeln § 13 (6 2 • 3) + t*' = - t 'X cos W j)1' = - t 'X sin w - ('Xl - w') (9 sin OJ ('Xl - OJ') + 6 cos w), (9 cos OJ - 6 sin w).

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