Analysis und mathematische Physik by Hans Triebel

By Hans Triebel

Von 1974 bis 1979 hatte ich an der Friedrich-Schiller-Universitat in Jena die sicherlich nicht alltagliche Gelegenheit, einen durchgehenden 10semestrigen Kurs flir Mathematikstudenten zu lesen. Entsprechend dem Studienplan hatten diese Vorlesungen verschiedene N amen (Differential- und Integralrechnung, gewohn liche Differentialgleichungen usw.), Inhalt und Zielstellung werden aber wohl am besten durch "Analysis und mathematische Physik" ausgedriickt. Das Buch ist das erweiterte Skelett dieses Kurses. Skelett insofern, als auf Beweise weitgehend verzichtet wurde (im Gegensatz zu groBen Teilen der Vorlesung). Andererseits wurden die Kapitel 27, 32 und 33 nachtraglich eingefligt. Das Ziel des Kurses ist klar, wenn guy einen Blick in das Inhaltsverzeichnis dieses Buches wirft: Einerseits hat die Mathematik groBartige, elegante, in sich geschlossene Theorien entwickelt, die keiner weiteren Rechtfertigung bediirfen. Andererseits sind es oft gerade die schonsten dieser Theorien, die zugleich das Fundament bilden, auf dem klassische und moderne theoretische Physik ruhen. Es warfare das Ziel, nicht nur diese Fundamente zu beschreiben, sondern auch einen Eindruck von den Gebauden zu vermitteln, die iiber ihnen errichtet werden konnen. Getreu dem Hilbertschen excellent werden hierbei mathematische Theorien und ihre physikalischen Interpretationen und Anwendungen sauberlich getrennt.

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Somit existiert eine U mkehrfunktion, die nach dem Spiegelungsprinzip gewonnen werden kann. Fiir a=e ist loge x=log x, wobei wir in Zukunft auch log x=ln x setzen. a>7 Bemerkung 2. Es ist a 1 =e1n a=a. Ferner hat ak die iibliche Bedeutung, wenn k eine ganze Zahl ist. Das rechtfertigt die Bezeichnung. Satz. =1. =1. na Bemerkung 3. Die Kurven a Z mit a >0 und x ERl fiillen die obere Halbebene mit Ausnahme der Menge {(x, y) I x=O, OO, so gilt aZ_co fiir a_co und aX -0 fiir a~ O.

N reelle Zahlen, so ist die Vektorfunktion f(x} = (fl(X), ... , In(x)} mit n /;(x)= ~ a;,k Xk, k=1 j=1, ... , n, stetig. 3. 1. 2. sind von Ri auf Rn libertragbar. f sci eine Funktion, die von D(f) c Rn in Rl abbildet. Def. 1/4 kann wortlich libernommen werden. Lemma. 1/2). Satz 1. f und g seien zwei reelle stetige Funktionen im Rn mit D(j) =D(g}, die beide im Punkt Xo ED(j) stetig sind. (a) Sind A und p. g(x) und f(x) . g(x) im Punkt Xo stetig. 2/1). 38 2. 2. Satz 2. M sei abgeschlossen und beschriinkt im Rn.

B) Fur alle x ERl und Y ERl gilt e(x + y) = e(x) e(y) . (1) Bemerkung 2. Eine reelle Funktion heillt konvex, wenn die Verbindungsstrecke zweier Kurvenpunkte oberhalb der Kurve liegt. Eine reelle Funktion heillt konkav, wenn die Verbindungsstrecke zweier Kurvenpunkte unterhalb der Kurve liegt. Bemerkung3. Der elegante Beweis des Satzes benutzt nur die Existenz- und Unitatssiitze fUr Differentialgleichungen aus Kap. lt. Bemerkung 4 (Schreibweise). Wir setzen e(1) =e. •. =(e(1))n=en und e( -n)=e- n , wobei n eine natiirliche Zahl ist.

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