Algebraische Strukturen [Lecture notes] by Susanne Danz

By Susanne Danz

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13 Beispiele (a) In Z gilt: p ∈ R Primelement ⇔ p irreduzibel ⇔ |p| Primzahl. (b) I. A. sind Elemente keine Primelemente. Dazu betrachten wir√den unit¨aren Teilring √ irreduzible √ R := Z + Z · −5 = {a + b −5 | a, b ∈ Z} von C. Wir zeigen, dass p := 2 + −5 in R irreduzibel aber nicht prim ist. Wir betrachten die Abbildung N : R → N0 , r → |r|2 = r · r¯, wobei |r| den komplexen √ Absolutbetrag von r und r¯ die zu r konjugiert komplexe Zahl bezeichnen. Ist r = a + b −5 mit a, b ∈ Z, so ist also N (r) = a2 + 5b2 .

44 Beweis. Sind a, b ∈ R {0} und u ∈ R× mit a = bu, so ist b | a und H(b) H(bu) = H(a). Analog folgt auch a | b und H(a) H(b). Es seien umgekehrt a, b ∈ R {0} mit a | b und H(a) = H(b). Dann existieren x, q, r ∈ R mit b = ax, a = bq + r und so, dass r = 0 oder H(r) < H(b) ist. Im Fall r = 0 w¨are H(r) = H(a − qb) = H(a(1 − xq)) H(a) = H(b) > H(r), Widerspruch. Also ist r = 0 und somit b | a. 4 ist a ∼ b. Der Zusatz u¨ ber R× folgt aus der Tatsache, dass R× genau die zu 1R assoziierten Elemente enth¨alt.

Es seien umgekehrt a, b ∈ R {0} mit a | b und H(a) = H(b). Dann existieren x, q, r ∈ R mit b = ax, a = bq + r und so, dass r = 0 oder H(r) < H(b) ist. Im Fall r = 0 w¨are H(r) = H(a − qb) = H(a(1 − xq)) H(a) = H(b) > H(r), Widerspruch. Also ist r = 0 und somit b | a. 4 ist a ∼ b. Der Zusatz u¨ ber R× folgt aus der Tatsache, dass R× genau die zu 1R assoziierten Elemente enth¨alt. Fazit: In einem euklidischen Ring R ist f¨ur a, b ∈ R {0} stets ggT(a, b) = ∅. 10) damit jeden ggT von a und b bestimmen.

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