Algebraische Spezifikation: Eine Einführung by Dr. rer. nat. Herbert Alois Klaeren (auth.)

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A bestimmt einen eindeutigen Homomorphismus f : mit T . (X ) ... A . Andererseits kann f als endliche, sortentreue Abbildung auch w ~ ~~ ei~ Vektor aus A w identifiziert werden, dessen Komponenten durch f(x 1 ), ... ,f(x n ) gegeben sind. nattirlich auch umgekehrt: Jeder Vektor ~ = (a 1 , ... ,an) E Aw kann als Abbildung a : Xw -+ A verstanden werden, indem man definiert a(xi ) : = a i . 25 Definition: Dann definiere Sei t ET . (X )s ein Polynomschema, gg w A eine sig-Algebra. = durch POL(t) A heiBt Semantik von t oder di;;' t Bernerkung: in b; bzw.

Die Gleichungen E erfUllt. Wir machen folgende Beobachtung: In den Termen der kanonischen Termalgebra tauchen nicht aIle Operationen der Signatur auf. Mit einer gewissen Berechtigung konnen wir die in den Termen von C integer vorkommenden Operationen die erzeugenden Operationen von C. t nennen und die ubrigen Operationen die definierten Operationen. In eger In unserem Beispiel sind O. suc und pred die erzeugenden Operationen. wiihrend + • - und * definierte Operationen sind. Diese Unterscheidung bezieht sich jedoch auf die hier angegebene kanonische Termalgebra Cinteger ~ • nicht auf die Spezifikation .

6 Lemma: fallt ~ ~,E ~ ~,E ist eine Aquivalenzrelation. Falls A die Gleichungen E erfiillt, mit der Identitat zusarnmen. Die Aquivalenzrelation ~~,E ist von E~ erzeugt. Leider nimmt sie keinerlei Riicksicht auf die algebraische Struktur, das heiSt: zwei Elemente einer Algebra, die aquivalent sind und auf die wir dieselbe Operation der Algebra an wenden , miissen nicht unbedingt wieder zwei aquivalente Elemente ergeben. Wir wollen jetzt zeigen, daB dies lastige Auswirkungen hat. Der Hauptgrund fiir die Einfiihrung von Aquivalenzrelationen, also zu deutsch: Gleichwertigkeitsbeziehungen, ist die Moglichkeit einer Einteilung (Partition) der Elemente einer Menge in Aquivalenzklassen.

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