Algebra by Gert Böhme (auth.)

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Rl~ in aufziihlender Form angeben! ) 36 1. Grundlagen der Algebra 5. Die Relation R c M2 mit M = 11,2,31 und R= 1(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)1 ist symmetrisch und transitiv. Warum ist sie dennoch nicht reflexiv? 3 Aquivalenzrelationen Definition I Eine Relation R auf M of 0 mit den Eigenschaften reflexiv, symmetrisch und transitiv heiBt eine A qui val e n z reI a. t ion. Anschaulich gelangt man auf folgendem Wege zum Begriff der Aquivalenzrelation: Ausgehend von einer nicht-leeren Menge M sichtet man deren Elemente bezilglich eines bestimmten Merkmals und setzt jeweils zwei Elemente in Relation, wenn sie das gleiche Merkmal besitzen.

DerLeserbeachte, daJ3die echte Teilmengenrelation (vgl. die 1. 2) nicht reflexiv ist! Definition I Eine Relation RcA X B heiJ3t ide n tit i v (antisymmetrisch), wenn fUr verschiedene Koordinaten x *y niemals xRy und yRx zugleich gilt: R identitiv : '" /\ [(x,y) ER => (y,x) ~RJ x,y EM x*y Pfeildiagramme identitiver Relationen durfen keine Doppelpfeile aufweisen. Zwei verschiedene Punkte sind entweder durch einen Einfachpfeil oder uberhaupt nicht verbunden (Abb. 24). Da das Verbot von Doppelpfeilen eine Eigenschaft asymmetrischer Relationen ist, bilden diese eine Teilmenge der Menge der identitiven Relationen.

Die Relation R c M2 mit M = 11,2,31 und R= 1(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)1 ist symmetrisch und transitiv. Warum ist sie dennoch nicht reflexiv? 3 Aquivalenzrelationen Definition I Eine Relation R auf M of 0 mit den Eigenschaften reflexiv, symmetrisch und transitiv heiBt eine A qui val e n z reI a. t ion. Anschaulich gelangt man auf folgendem Wege zum Begriff der Aquivalenzrelation: Ausgehend von einer nicht-leeren Menge M sichtet man deren Elemente bezilglich eines bestimmten Merkmals und setzt jeweils zwei Elemente in Relation, wenn sie das gleiche Merkmal besitzen.